用算子像中的点逼近 Banach 空间的点

为回答一个源于量子力学的问题，我们证明：对于 Banach 空间 $X$ 中任意一列凸无处稠密集 $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ 以及任意一列正实数 $(\varepsilon_n)_{n=1}^\infty$ 且满足 $\lim_{n\to\infty}\varepsilon_n=0$，集合 $A=\{x\in X:\forall n\in\mathbb N\;\exists a\in A_n\;\;\|x-a\|< \varepsilon_n\}$ 在 $X$ 中无处稠密。