巴拿赫空间中逼近多面体凸集的“隐藏”刻画

对于巴拿赫空间 $X$，我们用 $Conv_H(X)$ 表示赋予 Hausdorff 度量的 $X$ 中非空闭凸子集的空间。我们证明，对于 $X$ 中的任意闭凸集 $C$ 及其在 $Conv_H(X)$ 中的度量分量 $H_C=\{A\in Conv_H(X):d_H(A,C)<\infty\}$，以下条件等价：(1) $C$ 是逼近多面体的，即对于任意 $\epsilon>0$，存在 $X$ 中的多面体凸子集 $P$，使得 $C$ 与 $P$ 的 Hausdorff 距离 $d_H(P,C)<\epsilon$；(2) $C$ 与 $X$ 中的某个多面体凸集 $P$ 处于有限 Hausdorff 距离 $d_H(C,P)$；(3) 度量空间 $(H_C,d_H)$ 是可分的；(4) $H_C$ 的密度 $dens(H_C)<\mathfrak c$；(5) $H_C$ 不包含正隐藏凸集 $P\subset X$。如果巴拿赫空间 $X$ 是有限维的，则条件 (1)--(5) 等价于：(6) $C$ 不是正隐藏的；(7) $C$ 不是无限隐藏的。凸子集 $C\subset X$ 被称为{\em 正隐藏}（或{\em 无限隐藏}），如果存在 $X\setminus C$ 中的无限集 $A$，使得 $\inf_{a\in A}dist(a,C)>0$（或 $\sup_{a\in A}dist(a,C)=\infty$），且对于 $A$ 中任意相异点 $a,b$，线段 $[a,b]$ 与集合 $C$ 相交。