关于 Erd\H{o}s 的一个和集猜想

Erd\H{o}s 猜想，对于任何具有正下渐近密度的集合 $A\subseteq \mathbb{N}$，存在无限集 $B,C\subseteq \mathbb{N}$ 使得 $B+C\subseteq A$。我们在 $A$ 的 Banach 密度超过 $\frac{1}{2}$ 的情形下验证了 Erd\H{o}s 的猜想。作为推论，我们证明了对于具有正 Banach 密度（这是一个比正下密度弱得多的假设）的 $A\subseteq \mathbb{N}$，可以找到无限集 $B,C\subseteq \mathbb{N}$ 使得 $B+C$ 包含在 $A$ 与 $A$ 的一个平移的并集中。上述两个结果均被推广到任意可数阿贝尔群。我们还为自然数的伪随机子集给出了 Erd\H{o}s 猜想的肯定解。