On density analogs of Hindman's finite sums theorem

对于任意一个自然数集合A，其上正上Banach密度，我们证明存在一个无限集合B和序列$(t_k)_{k\in \mathbb{N}}, (s_k)_{k\in \mathbb{N}}$的自然数，使得$\left\{ \sum_{n \in F}n : F \subset B + s_k, 1 \leq |F| \leq k \right\}\subset A-t_k$,对于每一个$k\in \mathbb{N}$。这加强了Kra、Moreira、Richter和Robertson的密度有限和定理。我们进一步证明，给定这样一个集合A，存在一个无限集合B和一个序列$(t_k)_{k\in \mathbb{N}}$的自然数，使得$\left\{ \sum_{n \in F}n : F \subset B, |F| = k \right\}\subset A-t_k$,对于每一个$k\in \mathbb{N}$。作为一个推论，我们获得一个无限集合序列$(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$，使得$B_1+\cdots +B_k \subset A$,对于每一个$k\in \mathbb{N}$。我们也通过提供反例来证明我们主要定理的最优性，从而在Hindman有限和定理的密度类比问题中回应了上述作者的疑问。