大密度集合中的无限无限制和集 $B+B$

对于集合 $A \subset \mathbb{N}$，我们根据其密度刻画了何时存在无限集 $B \subset \mathbb{N}$ 和 $t \in \{0,1\}$ 使得 $B+B \subset A-t$，其中 $B+B : =\{b_1+b_2\colon b_1,b_2 \in B\}$。具体地，当下密度 $\underline{d}(A) >1/2$ 或上密度 $\overline{d}(A)> 3/4$ 时，这样的集合 $B\subset \mathbb{N}$ 和 $t\in \{0,1\}$ 的存在性得到保证。此外，当 $\underline{d}(A) > 3/4$ 或 $\overline{d}(A)>5/6$ 时，我们证明平移 $t$ 是不必要的，并给出例子表明这些界是紧的。最后，我们构造了一个自然数的syndetic三染色，其中不包含任何无限集 $B \subset \mathbb{N}$ 和数 $t \in \mathbb{N}$ 的单色 $B+B+t$。