带一个大 summand 的离散和集

若 $A$ 与 $B$ 是阿贝尔群中的子集，其和集定义为 $A+B:=\{a+b:a\in A, b\in B\}$。我们研究离散阿贝尔群中的和集，其中至少有一个 summand 拥有正上 Banach 密度。Renling Jin 证明，如果 $A$ 与 $B$ 是具有正上 Banach 密度的整数集合，则 $A+B$ 是分段 syndetic。Bergelson、Furstenberg 与 Weiss 改进了结论，使其表述为“$A+B$ 是分段 Bohr”。Beiglb"ock、Bergelson 与 Fish 进一步指出，这在质量上是最佳的：若 $C\subseteq \mathbb Z$ 为分段 Bohr 集，则存在 $A, B\subseteq \mathbb Z$ 拥有正上 Banach 密度，使得 $A+B\subseteq C$。我们改进了这些结果，通过建立离散阿贝尔群中的和集、紧致阿贝尔群中卷积水平集与紧致阿贝尔群中和集之间的强关联。我们的证明避免了保变动力学与非标准分析，结果适用于任意基数的情况。