某些阿贝尔群的 Bohr 拓扑与差集

对于一个固定的素数 $p$，$\mathbb F_{p}$ 表示具有 $p$ 个元素的域，$\mathbb F_{p}^{\omega}$ 表示可数直和 $\bigoplus_{n=1}^{\infty} \mathbb F_{p}$。将 $\mathbb F_{p}^{\omega}$ 视为一个可数阿贝尔群，我们构造了一个具有正上 Banach 密度的集合 $A\subseteq \mathbb F_{p}^{\omega}$，而其差集 $A-A:=\{a-b:a,b\in A\}$ 不包含 $\mathbb F_{p}^{\omega}$ 中任何 $c$ 的 Bohr 邻域。对于 $p=2$，我们得到了更强的结论：$A-A$ 不包含形如 $g+(B-B)$ 的集合，其中 $B$ 是分段 syndetic 的。该构造否定地回答了由多位作者提出的以下问题的一个变体：若 $A\subseteq \mathbb Z$ 具有正上 Banach 密度，是否 $A-A$ 必定包含某个 $n\in \mathbb Z$ 的 Bohr 邻域？我们还构造了集合 $S, A\subseteq \mathbb F_{p}^{\omega}$，使得 $S$ 在 $\mathbb F_{p}^{\omega}$ 的 Bohr 拓扑中稠密，$A$ 具有正上 Banach 密度，且 $A+S$ 不是分段 Bohr 的。对于 $p=2$，我们证明 $S$ 的每个平移都是拓扑回复集，且 $A+S$ 不是分段 syndetic 的。这些构造回答了由作者提出的一个问题的一个变体。