自然数集中的稳定性与稀疏性

给定集合 $A\subseteq\mathbb{N}$，我们考察结构 $(\mathbb{Z},+,0,A)$ 的稳定性与集合 $A$ 的稀疏性之间的关系。我们首先证明，对 $A$ 足够强的稀疏性假设可推出 $(\mathbb{Z},+,0,A)$ 的稳定性。此类集合包括 Palac\'{i}n 和 Sklinos 以及 Poizat 考虑过的例子、许多经典线性递归序列（例如斐波那契数），以及任何相邻元素比值极限发散的集合。最后，我们考虑由 $(\mathbb{Z},+,0,A)$ 的模型论假设所导出的关于集合 $A\subseteq\mathbb{N}$ 的稀疏性结论。我们利用 Erd\H{o}s、Nathanson 和 S\'{a}rk\"{o}zy 的一个结果证明：若 $(\mathbb{Z},+,0,A)$ 不定义 $\mathbb{Z}$ 上的序，则 $A$ 的任意有限和集的下渐近密度为零。最后，在 Goldbring 告知我们的一个定理中，我们利用 Jin 的一个结果证明：若 $(\mathbb{Z},+,0,A)$ 稳定，则 $A$ 的任意有限和集的上 Banach 密度为零。