和集大小与结构的改进稳定性

设 $A \subset \mathbb{Z}^d$ 为有限集合。已知，当 $N$ 大于某个阈值后，和集 $NA$ 的大小（$|NA| = P_A(N)$，其中 $P_A(X) \in \mathbb{Q}[X]$）和结构（即位于某个有限锥中除去若干异常子锥内的所有格点）是可预测的。在先前的工作中，与 Shakan 合作的第一位和第三位作者确定了这两个阈值对于任意集合 $A$ 的第一个有效界限。在本文中，我们大幅提高了这些界限，使其更接近相应的下界。