关于$t$-可表示和集的大小与结构

设$A\subseteq \mathbb{Z}_{\geq 0}$为最小元为$0$、最大元为$m$、严格介于其间有$\ell$个元素的有限集。记$(hA)^{(t)}$为可以写成至少$t$种方式作为$A$中$h$个元素之和的整数集合。我们证明对于\n$$h \geq (1+o(1)) \frac{1}{e} m\ell t^{1/\ell}$$\n（当$\ell \to \infty$，$t^{1/\ell} \to \infty$时），$(hA)^{(t)}$是“结构化的”，并证明了关于$A\subseteq \mathbb{Z}^d$在$h$充分大时大小与结构的类似定理。此外，我们构造了一族集合$A = A(m,\ell,t)\subseteq \mathbb{Z}_{\geq 0}$，使得对于$h\ll m\ell t^{1/\ell}$，$(hA)^{(t)}$不是结构化的。