和集中的长算术级数：阈值与界

对于整数集合 $A$，和集 $lA = A+...+A$ 由那些可表示为 $A$ 中 $l$ 个元素之和的数组成：$$lA =\{a_1+... a_l| a_i \in A_i \}.$$ 一个密切相关且同样有趣的概念是 $l^{\ast}A$，它是那些可表示为 $A$ 中 $l$ 个不同元素之和的数的集合：$$l^{\ast} A =\{a_1+... a_l| a_i \in A_i, a_i \neq a_j \}.$$ 本文的目标是研究 $A$ 为 $\{1,2, ..., n\}$ 的子集时 $lA$ 与 $l^{\ast}A$ 的结构。作为应用，我们解决了 Erdős 与 Folkman 在六十年代提出的两个猜想。