有限循环群中和集的最大规模

设 $A$ 为加法阿贝尔群 $G$ 的一个非空有限子集。给定一个非负整数 $h$，$h$ 重和集 $hA$ 是 $A$ 中 $h$ 个元素所有和的集合，而受限 $h$ 重和集 $h^\wedge A$ 是 $A$ 中 $h$ 个不同元素所有和的集合。受限和集 $s^\wedge A$，其中 $s=0, 1, \ldots, h$，的并集记为 $[0, h]^\wedge A$。对于固定的正整数 $m$ 和 $h$，具有 $m$ 个元素的集合 $A \subseteq G$ 的和集 $hA$ 的最大规模记为 $\nu(G, m, h)$。换句话说，$\nu(G, m, h) = \max\{|hA| : A \subseteq G, |A|= m\}$。对于和集 $h^\wedge A$ 和 $[0, h]^\wedge A$，可以定义类似的量。这些量已知有最优上界。如果 $G$ 是一个 $n$ 阶有限循环群，那么除了许多情况外，这些量中的每一个都与最优上界一致。Bajnok 提出了确定所有正整数 $n$、$m$ 和 $h$ 的问题，使得函数 $f(n, m, h)$ 的值严格小于最优上界。他对与和集 $h^\wedge A$ 和 $[0, h]^\wedge A$ 相关的量提出了类似的问题。我们证明，对于任何正整数 $h$，存在无限多个正整数 $m$ 和 $n$，使得 $\nu(\mathbb{Z}_n, m, h)$ 严格小于最优上界。我们也对与和集 $h^\wedge A$ 和 $[0, h]^\wedge A$ 相关的量证明了类似的结果。这些结果为 Bajnok 提出的问题提供了部分解答。