关于循环群中受限和集的最小规模

对于正整数 $n$、$m$ 和 $h$，我们令 $\rho \hat{\;}(\mathbb{Z}_n, m, h)$ 表示阶为 $n$ 的循环群的所有 $m$-子集中 $h$-重受限和集的最小规模。Erd\H{o}s 和 Heilbronn 在 1960 年代针对 $n$ 为素数且 $h=2$ 的情形猜想出了 $\rho \hat{\;}(\mathbb{Z}_n, m, h)$ 的值；Dias da Silva 和 Hamidoune 于 1994 年证明了该猜想并将其推广至任意 $h$，但对于 $n$ 为合数的情形知之甚少。在此，我们为所有 $n$、$m$ 和 $h$ 给出了一个显式的上界；该界在所有已知情形下（包括所有满足 $n \leq 40$ 的 $n$、$m$ 和 $h$）都是紧的。我们还为 Plagne 以及 Hamidoune、Llad\'o 和 Serra 提出的猜想提供了反例。