具有最少不同项数的和集

对于加法阿贝尔群 $G$ 中一个含 $k$ 个元素的集合 $A$ 以及正整数 $r \leq k$，我们考虑 $G$ 中可写为 $A$ 的 $h$ 个元素之和且其中至少有 $r$ 个不同元素的所有元素构成的集合。我们将此集合记为 $h^{(\geq r)}A$。集合 $h^{(\geq r)}A$ 分别对 $r=1$ 与 $r=h$ 推广了经典和集 $hA$ 与 $h\hat{}A$。作为本文的主要结果，我们给出了在 $m \geq 2$ 时对 $\mathbb{Z}_m$ 上 $h^{(\geq r)}A$ 最小大小的上界。进一步，通过关联和集 $hA$、$h\hat{}A$ 与 $h^{(\geq r)}A$ 的一个观察，我们得到了 $h^{(\geq r)}A$ 大小的紧下界，并刻画了在群 $\mathbb{Z}$ 与 $\mathbb{Z}_p$（其中 $p$ 为素数）上使 $h^{(\geq r)}A$ 大小下界取等的集合 $A$。