大小为 $k$ 集合的和集

集合 $\mathcal{R}_{G}(h,k)$ 由包含来自加法阿贝尔群 $G$ 中 $k$ 个元素的集合的 $h$ 倍和集的所有可能大小组成。这个集合的具体构成仍未知，但已有进展确定哪些整数存在。我们知道 $\mathcal{R}_{G}(h,k)\subseteq\left[hk-h+1,\binom{h+k-1}{h}\right]$，其中右侧是一个包含端点的整数区间，这些端点已知被实现。我们将证明，对于包含 $k\geq 4$ 个元素的 torsion-free 加法阿贝尔群 $G$ 中集合的 $h$ 倍和集大小，不可能是区间 $\left[hk-h+2,hk-1\right]$ 中的整数。此外，我们通过展示一个使其 $h$ 倍和集大小为 $hk$ 的子集来确认该区间不能再扩大。