和集的可能大小

Nathanson引入了$h$倍和集 Cardinality 的范围 $R(h,k) := \{|hA|:A \subset \mathbb{Z} \text{ 且 }|A| = k\}.$ 跟随Erd\H{o}s和Szemer\'edi关于$R(h,k)$当$h=2$时形式的讨论，Nathanson询问$R(h,k)$对于任意$h, k \in \mathbb{N}$的形式。对于$h \in \mathbb{N}$，我们证明存在常数$k_h \in \mathbb{N}$，使得当$k > k_h$时，$R(h,k)$是整个区间$\left[hk-h+1,\binom{h+k-1}{h}\right]$除去$\binom{h-1}{2}$个指定数字之外的集合。此外，我们展示可取$k_3 = 2$。