Nathanson Lambda 序列的极限点

我们考虑集合 $A_{n}=\displaystyle\cup_{j=0}^{\infty}\{\varepsilon_{j}(n)\cdot n^j\colon\varepsilon_{j}(n)\in\{0,\pm1,\pm2,...,\pm\lfloor{{n}/{2}}\rfloor\}\}$。令 $\mathcal{S}_{\mathcal{A}}= \bigcup_{a \in\mathcal{A} } A_{a}$，其中 $\mathcal{A}\subseteq \mathbb{N}$。我们用 $\lambda_{\mathcal{A}}(h)$ 表示可表示为 $\mathcal{S}_{\mathcal{A}}$ 中 $h$ 个且不少于 $h$ 个元素之和的最小正整数。Nathanson 研究了 $\lambda_\mathcal{A}(h)$-序列的性质，并提出了求 $\lambda_\mathcal{A}(h)$ 值的问题。当 $\mathcal{A}=\{2,i\}$ 时，我们将 $\lambda_{\mathcal{A}}(h)$ 记为 $\lambda_{2,i}(h)$。目前仅已知 $\lambda_{2,3}(1)=1$、$\lambda_{2,3}(3)=5$、$\lambda_{2,3}(3)=21$ 和 $\lambda_{2,3}(4)=150$。在本文中，我们推广了这一结果。对于任意奇数 $i>1$ 和 $h\in\{1,2,3\}$，我们求出了 $\lambda_{2,i}(h)$ 的值。此外，对于固定的 $h\in\{1,2,3\}$，我们求出了当 $i$ 取遍大于 1 的奇数时无限多次出现的 $\lambda_{2,i}(h)$ 值。我们称这些数为 $\textit{Nathanson Lambda 序列的极限点}$。