整数中受限带符号和集的直接与逆结果

设 $G$ 为一个加法阿贝尔群。设 $A=\{a_{0}, a_{1},\ldots, a_{k-1}\}$ 为 $G$ 的一个非空有限子集。对于满足 $1\leq h\leq k$ 的正整数 $h$，令 $$h\hat{}_{\underline{+}}A:=\{\Sigma_{i=0}^{k-1}\lambda_{i} a_{i}: (\lambda_{0},\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{k-1}) \in \{-1,0,1\}^{k},~\Sigma_{i=0}^{k-1}|\lambda_{i}|=h \},$$ 为 $A$ 的受限带符号和集。受限带符号和集 $h\hat{}_{\underline{+}}A$ 的直接问题是求 $h\hat{}_{\underline{+}}A$ 中元素个数关于 $|A|$ 的最小值。 $h\hat{}_{\underline{+}}A$ 的逆问题是确定使 $|h\hat{}_{\underline{+}}A|$ 最小的有限集 $A$ 的结构。在本文中，我们解决了当 $A$ 为整数有限集时 $h\hat{}_{\underline{+}}A$ 直接与逆问题的一些情形。就此，我们还在剩余情形中提出了一些猜想式的问题。