整数集受限符号和集的一些直接与逆问题

给定正整数 $h$ 和非空有限整数集 $A=\{a_{1},a_{2},\ldots,a_{k}\}$，$A$ 的受限 $h$ 重符号和集（记为 $h^{\wedge}_{\pm}A$）定义为 $$h^{\wedge}_{\pm}A=\left\lbrace \sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} a_{i}: \lambda_{i} \in \left\lbrace -1, 0, 1\right\rbrace \ \text{for} \ i= 1, 2, \ldots, k \ \text{and} \ \sum_{i=1}^{k} \left| \lambda_{i} \right| =h\right\rbrace.$$ 与该和集相关的直接问题是寻找 $|h^{\wedge}_{\pm}A|$ 的最优下界，而逆问题则是确定当 $|h^{\wedge}_{\pm}A|$ 达到最优下界时底层集 $A$ 的结构。Bhanja、Komatsu 和 Pandey 研究了 $h=2, 3$ 时受限 $h$ 重符号和集的直接与逆问题，并对 $h \geq 4$ 猜想了一些直接和逆结果。在本文中，我们证明了 $h=4$ 时的这些猜想。我们还证明了在集 $A$ 的某些限制下（这些限制是猜想的特例）任意 $h$ 的直接和逆定理。此外，我们证明了等差数列的这些猜想。