关于 $h$ 重和集的结构

设 $A$ 为非负整数集。设 $(h A)^{(t)}$ 为和集 $hA$ 中所有至少具有 $t$ 种表示为 $A$ 中 $h$ 个元素之和的整数构成的集合。本文中，我们证明：若 $k \geq 2$，且 $A=\left\{a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{k}\right\}$ 是满足 $0=a_{0}<a_{1}<\cdots<a_{k}$ 且 $\gcd\left(a_{1}, a_2,\ldots, a_{k}\right)=1$ 的有限整数集，则存在整数 $c_{t},d_{t}$ 及集合 $C_{t}\subseteq[0, c_{t}-2]$、$D_{t} \subseteq[0, d_{t}-2]$，使得对所有 $h \geq\sum_{i=2}^{k}(ta_{i}-1)-1$ 有 $$(h A)^{(t)}=C_{t} \cup\left[c_{t}, h a_{k}-d_{t}\right] \cup\left(h a_{k-1}-D_{t}\right)$$。这改进了 Nathanson 近期关于界 $h \geq (k-1)\left(t a_{k}-1\right) a_{k}+1$ 的结果。