关于指数格的 Helly 数

给定集合 $S \subseteq \mathbb{R}^2$，定义 $S$ 的 Helly 数，记为 $H(S)$，为若存在则最小的正整数 $N$，使得如下命题成立：对于 $\mathbb{R}^2$ 中任意有限凸集族 $\mathcal{F}$，若 $\mathcal{F}$ 中任意 $N$ 个或更少成员的相交至少包含 $S$ 的一个点，则存在 $S$ 的一个点属于 $\mathcal{F}$ 的所有成员。我们证明指数格 $\{\alpha^n \colon n \in \mathbb{N}_0\}^2$ 的 Helly 数对每一个 $\alpha>1$ 均为有限，并在若干情形下确定了其精确值。特别地，我们得到 $H(\{2^n \colon n \in \mathbb{N}_0\}^2)=5$，解决了 Dillon（2021）提出的一个问题。对于实数 $\alpha, \beta > 1$，我们也通过证明 $H(L(\alpha,\beta))$ 有限当且仅当 $\log_\alpha(\beta)$ 为有理数，完全刻画了具有有限 Helly 数的指数格 $L(\alpha,\beta) = \{\alpha^n \colon n \in \mathbb{N}_0\} \times \{\beta^n \colon n \in \mathbb{N}_0\}$。