盒子族中点对的离散分数Helly定理

设 $S$ 为 $\mathbb{R}^d$ 中的点集，若一族集合的成员在 $S$ 中有公共点，则称其为 $S$-相交的。最近，Edwards 和 Soberón 证明了Helly定理针对轴平行盒子的分数版本，表明：$\mathbb{R}^d$ 中任意有限轴平行盒子族 $F$，若其 $S$-相交的 $(d+1)$-元组具有正密度，则包含一个大小关于 $|F|$ 线性的 $S$-相交子族。我们证明，若 $S$-相交点对的密度足够大，则在定性上可以得到相同的结论。