离散量化Helly数的紧界
组合数学
2016-02-26 v1 度量几何
最优化与控制
摘要
给定R^n的子集S，令c(S,k)为最小的数t，使得每当有限多个凸集在S中恰好有k个公共点，则这些集中至多t个已经恰好有k个公共点在S中。对于S = Z^n，该数由Aliev等人[2014]引入，他们给出了显式界，表明对每个固定的n有c(Z^n,k) = O(k)。最近，Chestnut等人[2015]将其改进为c(Z^n,k) = O(k (log log k)(log k)^{-1/3} )，并给出了下界c(Z^n,k) = Omega(k^{(n-1)/(n+1)})。我们给出了c(S,k)的基于顶点在S中的多面体的组合描述，并用它改进先前已知的界如下：我们将Aliev等人[2014]的界强化了常数因子，并推广到一般离散集S。我们通过证明对每个固定的n有c(Z^n,k) = Theta(k^{(n-1)/(n+1)})，弥合了Z^n的间隙。最后，我们确定了所有k <= 4的c(Z^n,k)的精确值。
引用
@article{arxiv.1602.07839,
title = {Tight bounds on discrete quantitative Helly numbers},
author = {Gennadiy Averkov and Bernardo González Merino and Matthias Henze and Ingo Paschke and Stefan Weltge},
journal= {arXiv preprint arXiv:1602.07839},
year = {2016}
}
备注
19 pages