对称半代数集的等变 Betti 数界

设 $\mathrm{R}$ 为实闭域。根据定义多项式的数量和次数，获得 $\mathrm{R}^k$ 中半代数子集的 Betti 数的紧界，一直是实代数几何中的一个重要问题，其最早的结果归功于 Ole{\u\i}nik 和 Petrovski{\u\i}、Thom 以及 Milnor。这些界关于变量数 $k$ 均为指数级。受实代数几何以及理论计算机科学中若干应用的启发（此类界在这些领域已有应用），本文研究了 $\mathrm{R}^k$ 中对称代数集和半代数集的等变 Betti 数的定界问题。我们获得了若干渐近紧的上界。特别地，我们证明了：若 $S\subset \mathrm{R}^k$ 是由有限个次数至多为 $d$ 的 $s$ 个对称多项式定义的半代数子集，则 $S$ 的系数在 $\mathbb{Q}$ 中的 $\mathfrak{S}_k$-等变 Betti 数之和以 $(skd)^{O(d)}$ 为上界。与实代数簇和半代数集的普通 Betti 数的经典界不同，当定义多项式的次数有常数界时，上述界关于 $k$ 是多项式的。作为应用，我们改进了紧代数集投影的普通 Betti 数的最佳已知界，对于任何固定次数，改进了此前由 Gabrielov、Vorobjov 和 Zell 给出的该问题的最佳已知界。