局部环上 Betti 序列的多项式增长

本文研究完备交局部环 $R$ 上有限生成模的 Betti 数序列。已知偶下标子序列 $\{\beta^R_{i}(M)\}_{i\geq 0}$ 与奇下标子序列在 $i$ 充分大时分别由 $i$ 的多项式给出，且首项相同。我们证明：若 $I^\square$（由 $R$ 的相伴分次环的二次关系生成的理想）满足 ${\rm height}\ I^\square \ge {\rm codim}\ R -1$，则这两个多项式重合；当 $R$ 为齐次环或 ${\rm codim}\ R \le 4$ 时逆命题成立。随后 Avramov、Packauskas 与 Walker 证明了偶、奇 Betti 多项式中次数 $j > {\rm codim}\ R - {\rm height}\ I^\square$ 的项相等。我们基于本文获得的极小重数 c.i. 局部环剩余环的内在刻画，给出该结果的新证明。我们还说明该界是最优的。