计算由部分二次多项式系统定义的半代数集的 Betti 数

设 $\R$ 为实闭域，${\mathcal Q} \subset \R[Y_1,...,Y_\ell,X_1,...,X_k],$ 其中 $\deg_{Y}(Q) \leq 2, \deg_{X}(Q) \leq d, Q \in {\mathcal Q}, \#({\mathcal Q})=m$，且 ${\mathcal P} \subset \R[X_1,...,X_k]$ 其中 $\deg_{X}(P) \leq d, P \in {\mathcal P}, \#({\mathcal P})=s$。设 $S \subset \R^{\ell+k}$ 为一个半代数集，由不含否定的布尔公式定义，其原子为 $P=0, P \geq 0, P \leq 0$，其中 $P \in {\mathcal P} \cup {\mathcal Q}$。我们描述了一种计算 $S$ 的 Betti 数的算法。该算法的复杂度以 $(\ell s m d)^{2^{O(m+k)}}$ 为界。该算法的复杂度介于一般情形下已知算法的双指数时间界与先前已知的由少量二次不等式定义的半代数集的多项式复杂度之间。此外，对于固定的 $m$ 和 $k$，该算法在其余参数上具有多项式时间复杂度。