由二次不等式定义的集合的 Betti 数的更精确估计

本文考虑由多项式不等式 $P_1 \geq 0,...,P_s \geq 0$ 定义的半代数集 $S \subset \R^k$ 的 Betti 数 $b_i(S)$ 的估计问题，其中 $P_i \in \R[X_1,...,X_k]$ 且 $\deg(P_i) \leq 2$，$1 \leq i \leq s$。我们证明对 $0\le i\le k-1$，$$b_i(S) \le{1/2}(\sum_{j=0}^{min\{s,k-i\}}{{s}\choose j}{{k+1}\choose {j}}2^{j}).$$ 特别地，对 $2\le s\le \frac{k}{2}$，我们有 $$b_i(S)\le {1/2} 3^{s}{{k+1}\choose {s}} \leq {1/2} (\frac{3e(k+1)}{s})^s.$$ 这改进了 Barvinok 证明的 $k^{O(s)}$ 估计。这一改进得益于一种新方法：我们首先估计由一般二次型定义的复射影簇的非奇异完全交的 Betti 数，并利用该估计得到实半代数情形的界。