在多项式时间内计算由二次不等式定义的半代数集的顶级贝蒂数

对任意 $\ell > 0$，我们给出一种算法，输入一个半代数集 $S$，由 $P_1 \leq 0,...,P_s \leq 0$ 定义，其中每个 $P_i \in \R[X_1,...,X_k]$ 次数 $\leq 2$，并在多项式时间内计算出 $S$ 的顶级 $\ell$ 个贝蒂数 $b_{k-1}(S), ..., b_{k-\ell}(S)$。更精确地说，该算法的复杂度为 $\sum_{i=0}^{\ell+2} {s \choose i} k^{2^{O(\min(\ell,s))}}.$ 对固定的 $\ell$，算法复杂度可表为 $s^{\ell+2} k^{2^{O(\ell)}}$，关于输入参数 $s$ 与 $k$ 为多项式。据我们所知，这是首个在 $\R^k$ 中计算由多项式不等式定义的半代数集的非平凡拓扑不变量（其中不等式个数不固定且多项式允许次数大于一）的多项式时间算法。对固定的 $s$，令 $\ell = k$，我们得到计算 $S$ 所有贝蒂数的算法，其复杂度为 $k^{2^{O(s)}}$。