非奇异下三角$(0,1)$-矩阵最小奇异值的新上下界

设 $K_n$ 表示所有 $n\times n$ 非奇异下三角 $(0,1)$-矩阵的集合。Hong 和 Loewy（2004）引入了数列 $$c_n=\min\{\lambda\mid\lambda~\text{是}~XX^{\rm T}~\text{的特征值},~X\in K_n\},\quad n\in\mathbb Z_+.$$ 文献中已有若干尝试对 $c_n$ 获得界，包括 Mattila（2015）、Altinisik 等人（2016）、Kaarnioja（2021）、Loewy（2021）和 Altinisik（2021）。本文为 $c_n$ 推导了改进的上界和下界。通过考虑满足 $c_n=\|Z_n\|_2^{-1}$ 的矩阵 $Z_n$ 的特征多项式，我们证明了 $Z_n$ 的第二大特征值被 $\frac45$ 从上方界定，从而得到了 $c_n$ 的改进上界。另一方面，对 $Z_n$ 的特征多项式的根应用萨缪尔逊不等式（Samuelson's inequality）得到了改进的下界。数值实验展示了新界值的优良性。