给定谱矩阵的预解式最大值

在数值分析中，通常需要估计给定 $n\times n$ 矩阵 $T$ 的条件数 $CN(T)=||T||_{} \cdot||T^{-1}||_{}$ 和预解式范数 $||(\zeta-T)^{-1}||_{}$。我们推导了这些量的新谱估计，并计算了达到我们界限的显式矩阵。我们重现了一个众所周知的事实：在所有满足 $||T||_{} \leq1$ 且最小绝对特征值 $r=\min_{i=1,...,n}|\lambda_{i}|>0$ 的矩阵中，$CN(T)$ 的上确界是 Kronecker 界 $\frac{1}{r^{n}}$。随后，通过计算任意 $|\zeta| \leq1$ 对应的 $||(\zeta-T)^{-1}||_{}$ 的上确界，这一结果得到了推广。我们发现该上确界由一个三角 Toeplitz 矩阵达到。这提供了一类简单的结构化矩阵，可在其上对条件数和预解式范数界进行数值研究。所出现的 Toeplitz 矩阵是所谓的模型矩阵，即 Hardy 空间 $H_2$ 到有限维不变子空间的压缩后向移位算子的矩阵表示。