预解式何时类似于秩一矩阵？

对于方阵 $A$，$A$ 在点 $z \in \mathbb{C}$ 处的预解式定义为 $(A-zI )^{-1}$。我们考虑 $\mathbb{C}$ 中满足预解式与最近秩一矩阵在 2-范数下的相对差小于给定数 $\epsilon \in (0,1)$ 的点 $z$ 构成的集合。我们建立了该集合与 $A$ 的 $\epsilon$-伪谱之间的关系，并针对 Jordan 块和一类大型 Toeplitz 矩阵推导了关于该集合的具体结果。我们还推导了 $A$ 的特征值周围包含在该集合中的圆盘，这导出了关于 $A$ 的特征值周围包含在 $\epsilon$-伪谱中的圆盘的一些新结果。此外，我们考虑了 $\mathbb{C}$ 中满足预解式最大奇异值对应的左、右奇异向量内积的绝对值小于 $\epsilon$ 的点 $z$ 构成的集合。我们通过数值证明该集合可以与预解式和最近秩一矩阵之间相对差小于 $\epsilon$ 的集合几乎一样大，并对此给出了部分解释。文中讨论了一些可能的应用。