大偏差机制下随机对称矩阵的秩

设 $A$ 为一个 $n\timesimes n$ 随机对称矩阵，其元素为独立同分布的单位方差次高斯随机变量。我们证明了关于 $A$ 的秩的如下大偏差不等式：对于所有 $1\leq k\leq c\sqrt{n}$，$$\mathbb{P}(\operatorname{Rank}(A)\geq n-k)\geq 1-\exp(-c'kn),$$ 其中 $c,c'>0$ 为固定常数。对于稠密 Erdos-Renyi 图的邻接矩阵的秩，我们也证明了类似的大偏差不等式。该余秩估计增强了 Campos、Jensen、Michelen 和 Sahasrabudhe 关于随机对称矩阵奇异概率呈指数级衰减的近期突破性成果，并呼应了 Mark Rudelson 关于独立元素随机矩阵之秩的大偏差不等式。