随机矩阵秩的韧性

设 $M$ 为一个由独立的 Rademacher ($\pm 1$) 随机变量构成的 $n \times m$ 矩阵。众所周知，若 $n \leq m$，则 $M$ 以高概率为满秩。我们证明该性质对 $M$ 的对抗性改变具有韧性。更确切地说，若 $m \geq n + n^{1-\varepsilon/6}$，则即使在改变 $(1-\varepsilon)m/2$ 个条目的符号后，$M$ 仍以高概率为满秩。注意到这在渐近意义下是最佳可能的，因为只需至多 $m/2$ 次改变即可轻易使任意两行成比例。此外，该定理给出了 Van Vu 所提一个猜想的略弱化版本的渐近解。