近均匀矩阵的秩

随机矩阵理论中的一个核心问题是普适性。当从大量所选随机变量中观察到涌现现象时，自然要问该行为是否特定于所选随机变量，还是对更大类随机变量也会出现。在有限域上从 $\operatorname{Mat}(\mathbf{F}_q)$ 均匀选取的随机矩阵的秩统计量已被充分理解。然而这些统计量的普适性尚未完全明了。近期 Wood [39] 与 Maples [26] 考虑了一个自然要求，即随机变量不允许过于接近常数，并证明秩统计量与均匀模型的误差为 $e^{-cn}$ 量级。本文探讨一种称为近均匀的条件，在此条件下我们能够证明秩统计量渐近收敛的更紧界 $q^{-cn}$。我们的方法完全初等，并允许少量元素为确定性，且元素无需同分布只要独立。更重要的是，该方法也推广到近均匀对称矩阵与交错矩阵。我们的方法也适用于在 $\operatorname{GL}_n(\mathbf{F}_q)$ 上均匀采样随机矩阵的两种扰动模型：减去单位阵或取均匀采样可逆矩阵的子式。