一般有限维空间中基于最近邻规则的分类：充要条件

给定一个联合分布未知的随机向量 $n$ 样本 $(X_i,Y_i)_{1 \leq i \leq n}$，监督分类这一长期存在的问题旨在对新观测值 $X$ 的标签 $Y$ 进行\textit{最优}预测。在此背景下，最近邻规则是非参数情形中一种流行、灵活且直观的方法。尽管该算法在机器学习和统计学界被广泛使用，但对其在一般有限维空间中的预测能力，尤其是当观测值密度的支撑集为 $\mathbb{R}^d$ 时，人们所知甚少。本文致力于研究最近邻规则在各种情形下的统计性质。我们特别关注 $X$ 的边缘分布，以及\textit{回归函数} $\eta(X) = \mathbb{E}[Y | X]$ 的光滑性和间隔性质。我们确定了两个充要条件，用以获得分类的一致收敛速率，并在最近邻规则情形下推导出精确估计。文末给出了一些数值实验以辅助说明相关讨论。