具有一般协方差剖面与二次型控制的样本协方差矩阵的预解收敛

我们研究预解 $G^z = \left(\frac{1}{n}XX^T - zI_p\right)^{-1}, \qquad z\in\mathbb C,\ \Im(z)>0,$，其中 $X=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathcal M_{p,n}$ 是一个列独立但未必同分布的随机矩阵。我们的界用中心化二次型 $q_i(A):=x_i^TAx_i-\mathbb E[x_i^TAx_i]$ 的矩来表示，其中 $A$ 为具有单位 Hilbert–Schmidt 范数的确定矩阵。特别地，我们不假设给定列 $x_i$ 各元素之间的独立性。在拟渐近 regime $p\le O(n)$ 下，矩阵 $G^z$ 允许一个自然确定性等价 $\tilde G^z$，其仅依赖于列向量 $x_1,\ldots,x_n$ 的二阶矩。我们证明，对任意确定矩阵 $B\in\mathcal M_p$，迹 $\tr(BG^z)$ 接近于 $\tr(B\tilde G^z)$，在二次型的一阶矩界下误差由 $\|B\|_{\hs}$ 控制，在适当的二阶矩界下由 $\|B\|_{\hs}/\sqrt n$ 控制。