离域相中的随机带状矩阵，II：广义预解式估计

这是关于带状矩阵离域化的三部曲的第二部分。在本文中，我们考虑一类一般的 $N\times N$ 随机带状矩阵 $H=(H_{ij})$，其元素为零均值随机变量，在对称约束下独立。我们假设方差 $\mathbb E |H_{ij}|^2$ 构成一个典型带宽为 $1\ll W\ll N$ 的带状矩阵。我们考虑 $H$ 的广义预解式，定义为 $G(Z):=(H - Z)^{-1}$，其中 $Z$ 是一个确定性对角矩阵，满足 $Z_{ij}=\left(z 1_{1\leq i \leq W}+\widetilde z 1_{ i > W} \right) \delta_{ij}$，具有两个不同的谱参数 $z\in \mathbb C_+:=\{z\in \mathbb C:{\rm Im} z>0\}$ 和 $\widetilde z\in \mathbb C_+\cup \mathbb R$。在本文中，我们证明了当 $W\gg N^{3/4}$ 时广义预解式 $G$ 的局部律的锐界。该界是文献 \cite{PartI} 中证明随机带状矩阵离域化和体普适性的关键输入。我们的证明依赖于关于预解式元素中某些多项式平均的涨落平均界，该界将在文献 \cite{PartIII} 中证明。