随机带状矩阵的扩散剖面：一个简短证明

设 $H$ 为 Hermitian 随机矩阵，其元素 $H_{xy}$ 是独立的零均值随机变量，方差为 $S_{xy} = \mathbb E|H_{xy}|^2$，其中 $x, y \in (\mathbb Z/L\mathbb Z)^d$ 且 $d \geq 1$。当 $|x - y|$ 大于带宽 $W$ 时，方差 $S_{xy}$ 可忽略。对 $d = 1$，我们证明若 $L \ll W^{1 + \frac{2}{7}}$，则 $H$ 的特征向量是去局域的，且 $|G_{xy}(z)|^2$ 的平均版本展现出扩散行为，其中 $G(z) = (H-z)^{-1}$ 是 $H$ 的预解式。这改进了 Erd\H{o}s 等人（2013）先前的假设 $L \ll W^{1 + \frac{1}{4}}$。在更高维 $d \geq 2$ 下，我们得到类似结果，改进了 Erd\H{o}s 等人对应的假设。我们的结果对一般方差剖面 $S_{xy}$ 与元素 $H_{xy}$ 的分布均成立。该证明比 Erd\H{o}s 等人的证明显著更简单且更短。它依赖于细致的傅里叶空间分析，结合对涨落误差项的各向同性估计。它避免了 Erd\H{o}s 及其合作者所用的复杂涨落平均机制。