高维随机带状矩阵的非局域化与量子扩散 I：自能重正化

我们考虑$d$维格点$(\mathbb Z/L\mathbb Z)^d$上的Hermitian随机带状矩阵$H=(h_{xy})$。 entries $h_{xy}$是独立的（服从Hermitian条件）零均值复高斯随机变量，方差为$s_{xy}=\mathbb E|h_{xy}|^2$。方差矩阵$S=(s_{xy})$具有带状结构，使得当$|x-y|$超过带宽$W$时$s_{xy}$可忽略。在维度$d\ge 8$下，我们证明只要$W\ge L^\epsilon$（$\epsilon>0$为小常数），以高概率$H$的大多数体本征向量是非局域化的，即其局域化长度与$L$相当。记$G(z)=(H-z)^{-1}$为该带状矩阵的Green函数。对于${\mathrm Im}\, z\gg W^2/L^2$，我们还证明了物理学中广泛使用的该模型量子扩散判据，即$\mathbb E|G_{xy}(z)|^2$关于$x-y$的Fourier变换的首项为$({\mathrm Im}\, z + a(p))^{-1}$的形式，其中$a(p)$为$p$的二次式，$p$为Fourier变量。我们的方法基于$T_{xy}=|m|^2 \sum_{\alpha}s_{x\alpha}|G_{\alpha y}|^2$的展开，且需要将自能重正化至误差$W^{-K}$，其中$K$为独立于$W$和$L$的任意大常数。我们期望该方法可推广至非高斯带状矩阵。