高维随机带状矩阵的去局域化与量子扩散 II：$T$-展开

我们考虑 $d$ 维格点 $(\mathbb Z/L\mathbb Z)^d$ 上 Hermitian 随机带状矩阵 $H$ 的 Green 函数 $G(z):=(H-z)^{-1}$。$H$ 的矩阵元 $h_{xy}=\bar h_{yx}$ 是独立的零均值复高斯随机变量，方差为 $s_{xy}=\mathbb E|h_{xy}|^2$。方差满足带状轮廓，使得当 $|x-y|$ 超过带宽 $W$ 时 $s_{xy}$ 可忽略。对任意 $n\in \mathbb N$，我们构造 $T$-变量 $T_{xy}=|m|^2 \sum_{\alpha}s_{x\alpha}|G_{\alpha y}|^2$ 的一个展开，误差为 $O(W^{-nd/2})$，并用以证明 Green 函数的局部律。该 $T$-展开是本系列第一部分中证明维数 $d\ge 8$ 随机带状矩阵去局域化与量子扩散的主要工具。