随机带状矩阵的离域化与扩散轮廓

我们考虑 $d \geq 1$ 维中的 Hermitian 与对称随机带状矩阵 $H = (h_{xy})$。矩阵元素 $h_{xy}$ 以 $x,y \in (\bZ/L\bZ)^d$ 为下标，是方差为 $s_{xy} = \E |h_{xy}|^2$ 的独立中心化随机变量。我们假设当 $|x-y|$ 超过带宽 $W$ 时 $s_{xy}$ 可忽略。在一维情形中，我们证明了若 $W\gg L^{4/5}$，则 $H$ 的特征向量是离域化的。我们还证明了预解式 $G=G(z)=(H-z)^{-1}$ 的矩阵元素 $\abs{G_{xy}}^2$ 的幅度具有自平均性，并计算了 $\E \abs{G_{xy}}^2$。我们证明了，当 $L\to\infty$ 且 $W\gg L^{4/5}$ 时，$\E |G_{xy}|^2$ 的行为由一个扩散算子主导，我们计算了该算子的扩散常数。在高维情形中亦得到了类似的结果。