离域相中的随机带状矩阵，I：量子唯一遍历性与普适性

考虑 $N\times N$ 对称一维随机带状矩阵，其条目具有一般分布，带宽 $W \geq N^{3/4+\varepsilon}$（任意 $\varepsilon>0$）。在谱的体区及大 $N$ 极限下，我们得到如下结果。(i) 半圆律在尺度 $N^{-1+\varepsilon}$（任意 $\varepsilon>0$）上成立。(ii) 特征值在任意固定能量处局部收敛于由高斯正交系综给出的点过程。(iii) 所有特征向量均离域，意指其 ${\rm L}^\infty$ 范数在以压倒性概率同时被 $N^{-\frac{1}{2}+\varepsilon}$ 界定（在 ${\rm L}^2$ 中归一化后），对任意 $\varepsilon>0$。(iv) 量子唯一遍历性成立，即特征向量的局部 ${\rm L}^2$ 质量以压倒性概率变得等分布。我们将均值场约化方法 \cite{BouErdYauYin2017}（要求 $W=\Omega(N)$）推广至当前设定 $W \ge N^{3/4+\varepsilon}$。两个新思想是：(1) 当 $W \geq N^{3/4+\varepsilon}$ 时关于带状矩阵“广义预解式”的新估计。其证明连同改进的涨落平均估计将在本系列的第 2 和第 3 部分 \cite {BouYanYauYin2018,YanYin2018} 中给出。(2) 随机矩阵量子唯一遍历性的一强（高概率）版本。为其证明，我们构造了特征向量重叠的完美匹配可观测量，并证明它们在矩阵布朗运动下满足特征向量矩流方程 \cite{BouYau2017}。