Wigner 随机矩阵的普适性：近期结果综述

我们研究大型随机矩阵谱统计的普适性。我们考虑具有独立同分布元素的 $N\times N$ 对称、厄米特或四元子自对偶随机矩阵（Wigner 矩阵），其中每个矩阵元素的概率分布由具有次指数衰减的测度 $\nu$ 给出。我们的主要结果是，在 $N\to \infty$ 的极限下，谱体内部局部特征值统计的关联函数分别与高斯正交系综（GOE）、高斯酉系综（GUE）和高斯辛系综（GSE）的关联函数一致。我们的方法基于通过一种相关的新动力学（即局部弛豫流）来研究 Dyson 布朗运动。作为主要输入，我们证明了特征值密度收敛于 Wigner 半圆律，且该收敛甚至在最小可能的尺度上依然成立，此外，我们证明了特征向量是完全退局域化的。即使在没有矩阵元素同分布的条件下，这些结果依然成立，仅使用了独立性。事实上，我们对 Green 函数的矩阵元素给出了强估计，这意味着如果矩阵元素的前四阶矩匹配，则体内部任意两个系综的局部统计是相同的。谱边缘的普适性仅需匹配两阶矩。我们还证明了 Wegner 型估计，以及特征值在任意小尺度上相互排斥。