广义高斯酉系综正特征值的密度

我们计算了属于广义高斯正交、酉和辛系综的随机矩阵统计密度的精确渐近行为，这些矩阵在区间 $[\sigma, +\infty[$ 内没有特征值。特别地，我们表明，对于大 $n$，$(n\times n)$ 随机矩阵的所有特征值均为正（或负）的概率以 $\sim exp[-\beta\theta(\alpha)n^2]$ 的形式减小，其中 Dyson 指数 $\beta$ 表征该系综，$\alpha$ 是某个额外参数，指数 $\theta(\alpha)$ 是 $\alpha$ 的函数并将被明确给出。对于 $\alpha=0$，$\theta(0)= (\log 3)/4 = 0.274653...$ 是普适的。我们计算了特征值位于区间 $[\sigma,+\infty[$ 的概率，其中 $(\sigma>0,\; {\rm if}\;\alpha>0)$ 且 $(\sigma\in\mathbb R,\; {\rm if }\;\alpha=0)$。这将著名的 Wigner 半圆律推广到了这些受限系综。研究发现，特征值密度通常在势垒位置表现出逆平方根奇异性。这些结果推广了 \cite{D}, \cite{S} 中研究的高斯随机矩阵系综的情况。