随机矩阵理论高斯系综的类Schmidt特征值分布

我们分析了类Schmidt随机变量w = x_1^2/(∑_{j=1}^n x_j^2/n)的概率分布函数P_n^{(β)}(w)的形式，其中x_j是给定n×n β-高斯随机矩阵的特征值，β是Dyson对称指数。根据定义，该变量可以衡量任何单个特征值偏离给定随机矩阵所有特征值算术平均值的程度，并且其分布是针对此类β-高斯随机矩阵的系综计算的。我们表明，在渐近极限n→∞且对于任意β，分布P_n^{(β)}(w)收敛到Marchenko-Pastur形式，即对于w∈[0,4]定义为P_n^{(β)}(w) ~ √((4-w)/w)，在支撑集外为零。此外，对于高斯幺正（β=2）系综，我们给出了对任意n有效的P_n^{(β=2)}(w)的精确显式表达式，并分析了它们的行为。