复白 Wishart 矩阵最大特征值的收敛速率结果

最近已证明，若 $X$ 是一个 $n\times N$ 矩阵，其元素为独立同分布的标准复高斯变量，且 $l_1$ 是 $X^*X$ 的最大特征值，则存在序列 $m_{n,N}$ 和 $s_{n,N}$ 使得 $(l_1-m_{n,N})/s_{n,N}$ 依分布收敛于 $W_2$，即在高斯酉系综研究中出现的 Tracy--Widom 律。该概率律有已知且可计算的密度。$W_2$ 的累积分布函数记为 $F_2$。本文中我们证明，在假设 $n/N\to \gamma\in(0,\infty)$ 下，可找到一个连续且非增的函数 $M$ 以及序列 $\tilde{\mu}_{n,N}$ 和 $\tilde{\sigma}_{n,N}$，使得对所有实数 $s_0$，存在整数 $N(s_0,\gamma)$，当 $(n\wedge N)\geq N(s_0,\gamma)$ 时，令 $l_{n,N}=(l_1-\tilde{\mu}_{n,N})/\tilde{\sigma}_{n,N}$，有 $$\forall s\geq s_0\qquad (n\wedge N)^{2/3}|P(l_{n,N}\leq s)-F_2(s)|\leq M(s_0)\exp(-s).$$ 令人惊异的良好 2/3 速率以及界函数的定性性质，有助于解释极限分布 $W_2$ 在模拟中是 $l_{n,N}$ 经验分布的良好近似这一事实，而从（例如统计）应用的角度看，这是一个重要事实。