Wigner 矩阵最大特征值收敛到 Tracy-Widom 律的速率

我们证明，大小为 $N$ 的实对称或复厄米 Wigner 矩阵的最大特征值的涨落在 $N$ 趋于无穷时以速率 $O(N^{-1/3+\omega})$ 收敛到 Tracy–Widom 律。对于 Wigner 矩阵，这改进了 Bourgade [5] 对广义 Wigner 矩阵所得的先前速率 $O(N^{-2/9+\omega})$。我们的结果源于 Green 函数比较定理，该定理由 Erd\H{o}s、Yau 和 Yin [19] 最初引入以证明边缘普适性，我们在更精细的谱参数尺度上以改进误差估计使用之。证明依赖于由矩阵值 Ornstein–Uhlenbeck 过程诱导的连续 Green 函数流。利用迭代累积量展开和相关函数的递归比较，以及高斯不变系综相关核的一致收敛估计，获得了矩阵元素三阶和四阶矩主导贡献的精确估计。