关于某些样本协方差矩阵最大特征值分布普适性的注记

近来 Johansson 与 Johnstone 证明了复(实) Wishart 矩阵 $X^* X (X^t X)$ 的最大主成分(经适当重标度后)的分布,当 $n, p$($X$ 的维数)以某比例 $n/p \to \gamma>0$ 趋于 $\infty$ 时,收敛到 Tracy-Widom 律。我们从两个方向推广了这些结果。首先,我们证明了 Wishart 矩阵的第一、第二、第三等特征值的联合分布收敛(经适当重标度后)到 Tracy-Widom 分布。其次,我们说明了为 Wigner 矩阵所发展的组合工具如何允许将 Johansson 与 Johnstone 的结果推广到 $X$ 具有非高斯元素的情况,只要 $n-p =O(p^{1/3})$。我们还证明了对于一般 $\gamma >0$,有 $\lambda_{max} \leq (n^{1/2}+p^{1/2})^2 +O(p^{1/2}\log(p))$(几乎处处)。