椭圆分布高维协方差矩阵最大特征值的Tracy-Widom极限

设$X$为一个$M\times N$随机矩阵，由独立的$M$维椭圆分布列向量$\mathbf{x}_{1},\dots,\mathbf{x}_{N}$组成，其总体协方差矩阵为一般矩阵$\Sigma$。在文献中，量$XX^{*}$经缩放后被称为样本协方差矩阵，其中$X^{*}$为$X$的转置。在本文中，我们证明了对于一大类椭圆分布，$XX^{*}$的缩放最大特征值的极限行为是普适的，即只要$\mathbf{x}_{1}$的半径的弱四阶矩存在，当$M,N\to\infty$且$M/N\to\phi_0>0$时，无论$\mathbf{x}_{1},\dots,\mathbf{x}_{N}$服从何种分布，缩放最大特征值都弱收敛于同一极限。特别地，通过与多元正态分布数据的样本协方差矩阵的Green函数进行比较，我们得出结论：缩放最大特征值的极限分布是著名的Tracy-Widom律。