样本协方差矩阵最大特征值收敛至 Tracy–Widom 律的收敛速率

我们建立了高维样本协方差矩阵最大特征值的 Tracy–Widom 律的定量版本。确切地说，我们证明样本协方差矩阵 $X^*X$ 的最大特征值的涨落以近乎 $N^{-1/3}$ 的速率收敛到其 Tracy–Widom 极限，其中 $X$ 是一个 $M \times N$ 随机矩阵，其元素为独立的实或复随机变量，并假设 $M$ 与 $N$ 以恒定速率趋于无穷。该结果改进了 Wang [73] 先前得到的估计 $N^{-2/9}$。我们的证明依赖于使用迭代累积量展开的 Green 函数比较方法 [27]、Green 函数的局部律以及白 Wishart 系综相关核的渐近性质。